التعليقات

تحدي مشاكل العد والحلول

تحدي مشاكل العد والحلول

يمكن أن يبدو العد مهمة سهلة التنفيذ. بينما نتعمق أكثر في مجال الرياضيات المعروف باسم التوافقيات ، ندرك أننا صادفنا بعض الأعداد الكبيرة. منذ أن يظهر الفصيل في كثير من الأحيان ، وعدد مثل 10! أكبر من ثلاثة ملايين ، يمكن تعقيد مشاكل العد بسرعة كبيرة إذا حاولنا سرد كل الاحتمالات.

في بعض الأحيان ، عندما نفكر في كل الاحتمالات التي يمكن أن تحدثها مشاكل العد لدينا ، يكون من الأسهل التفكير في المبادئ الأساسية للمشكلة. قد تستغرق هذه الاستراتيجية وقتًا أقل بكثير من محاولة استخدام القوة الغاشمة لإدراج عدد من المجموعات أو التباديل.

السؤال "كم من الطرق يمكن القيام بشيء ما؟" هو سؤال مختلف تماما عن "ما هي الطرق التي يمكن القيام بشيء ما؟" سنرى هذه الفكرة تعمل في المجموعة التالية من مشاكل العد الصعبة.

تتضمن مجموعة الأسئلة التالية كلمة TRIANGLE. لاحظ أن هناك ما مجموعه ثمانية أحرف. دعنا نفهم أن حروف العلة للكلمة TRIANGLE هي AEI ، والحروف الساكنة للكلمة TRIANGLE هي LGNRT. للحصول على تحد حقيقي ، قبل القراءة ، تحقق من إصدار من هذه المشكلات دون حلول.

المشكلات

  1. كم من الطرق يمكن ترتيب حروف كلمة TRIANGLE؟
    حل: يوجد هنا ما مجموعه ثمانية خيارات للحرف الأول ، سبعة للحرف الثاني ، ستة للحرف الثالث ، وهكذا. وفقًا لمبدأ الضرب ، نضرب لما مجموعه 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 8! = 40320 طرق مختلفة.
  2. كم عدد الطرق التي يمكن ترتيب حروف كلمة TRIANGLE إذا كانت الأحرف الثلاثة الأولى يجب أن تكون RAN (بهذا الترتيب الدقيق)؟
    حل: تم اختيار الأحرف الثلاثة الأولى بالنسبة لنا ، مما يترك لنا خمس رسائل. بعد RAN ، لدينا خمسة خيارات للرسالة التالية متبوعة بأربعة ، ثم ثلاثة ، ثم اثنين ثم واحد. وفقًا لمبدأ الضرب ، هناك 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5! = 120 طرق لترتيب الحروف بطريقة محددة.
  3. كم عدد الطرق التي يمكن ترتيب حروف كلمة TRIANGLE إذا كانت الأحرف الثلاثة الأولى يجب أن تكون ران (بأي ترتيب)؟
    حل: انظر إلى هذا كمهمتين مستقلتين: الأولى ترتيب الأحرف RAN ، والثانية ترتيب الأحرف الخمسة الأخرى. هناك 3! = 6 طرق لترتيب RAN و 5! طرق لترتيب الحروف الخمسة الأخرى. لذلك هناك ما مجموعه 3! × 5! = 720 طرق لترتيب حروف TRIANGLE كما هو محدد.
  4. كم عدد الطرق التي يمكن بها ترتيب الأحرف في كلمة TRIANGLE إذا كانت الأحرف الثلاثة الأولى يجب أن تكون RAN (بأي ترتيب) والحرف الأخير يجب أن يكون حرفًا متحركًا؟
    حل: انظر إلى هذا على أنه ثلاث مهام: الأولى التي ترتب الأحرف RAN ، والثانية تختار حرفًا واحدًا من I و E ، والثالثة ترتب الأحرف الأربعة الأخرى. هناك 3! = 6 طرق لترتيب RAN ، 2 طرق لاختيار حرف علة من الحروف المتبقية و 4! طرق لترتيب الحروف الأربعة الأخرى. لذلك هناك ما مجموعه 3! × 2 × 4! = 288 طرق لترتيب حروف TRIANGLE كما هو محدد.
  5. كم عدد الطرق التي يمكن ترتيب حروف كلمة TRIANGLE إذا كانت الأحرف الثلاثة الأولى يجب أن تكون RAN (بأي ترتيب) ، ويجب أن تكون الأحرف الثلاثة التالية TRI (بأي ترتيب)؟
    حل: مرة أخرى ، لدينا ثلاث مهام: الأول ترتيب الأحرف RAN ، والثاني ترتيب الأحرف TRI ، والثالث ترتيب الحرفين الآخرين. هناك 3! = 6 طرق لترتيب RAN ، 3! طرق لترتيب TRI وطريقتين لترتيب الحروف الأخرى. لذلك هناك ما مجموعه 3! × 3! X 2 = 72 طرق لترتيب حروف TRIANGLE كما هو محدد.
  6. كم عدد الطرق المختلفة التي يمكن ترتيب حروف كلمة TRIANGLE إذا كان لا يمكن تغيير ترتيب الحروف الساكنة ووضعها؟
    حل: يجب أن تبقى الحروف الساكنة الثلاثة بنفس الترتيب. الآن هناك ما مجموعه خمسة حروف العلة لترتيب. ويمكن القيام بذلك في 5! = 120 طرق.
  7. كم عدد الطرق المختلفة التي يمكن ترتيب حروف كلمة TRIANGLE إذا كان لا يمكن تغيير ترتيب حروف العلة ، على الرغم من أن موضعها قد يكون (IAETRNGL و TRIANGEL مقبولين ولكن EIATRNGL و TRIENGLA غير مقبولين)؟
    حل: هذا هو أفضل ما يعتقد في خطوتين. الخطوة الأولى هي اختيار الأماكن التي تذهب فيها حروف العلة. نحن هنا نختار ثلاثة أماكن من أصل ثمانية ، والترتيب الذي نفعله هذا غير مهم. هذا هو مزيج وهناك ما مجموعه C(8،3) = 56 طريقة لتنفيذ هذه الخطوة. يمكن ترتيب الحروف الخمسة المتبقية في 5! = 120 طرق. هذا يعطي ما مجموعه 56 × 120 = 6720 الترتيبات.
  8. كم عدد الطرق المختلفة التي يمكن ترتيب حروف كلمة TRIANGLE إذا كان يمكن تغيير ترتيب حروف العلة IAE ، على الرغم من أن موضعها قد لا يتغير؟
    حل: هذا هو حقا نفس الشيء رقم 4 أعلاه ، ولكن بأحرف مختلفة. نرتب ثلاث رسائل في 3! = 6 طرق والأحرف الخمسة الأخرى في 5! = 120 طرق. إجمالي عدد طرق هذا الترتيب هو 6 × 120 = 720.
  9. كم عدد الطرق المختلفة التي يمكن ترتيب ستة أحرف من كلمة TRIANGLE؟
    حل: بما أننا نتحدث عن ترتيب ما ، فهذا يعد تقلبًا وهناك إجمالي P(8 ، 6) = 8! / 2! = 20،160 طريقة.
  10. كم عدد الطرق المختلفة التي يمكن ترتيب ستة أحرف من الكلمة TRIANGLE إذا كان يجب أن يكون هناك عدد متساوٍ من حروف العلة والحروف الساكنة؟
    حل: هناك طريقة واحدة فقط لاختيار حروف العلة التي سنقوم بوضعها. اختيار الحروف الساكنة يمكن القيام به في C(5 ، 3) = 10 طرق. هناك ثم 6! طرق لترتيب الحروف الستة. اضرب هذه الأرقام معًا من أجل نتيجة 7200.
  11. ما عدد الطرق المختلفة التي يمكن بها ترتيب ستة أحرف من كلمة TRIANGLE إذا كان يجب وجود حرف واحد على الأقل؟
    حل: كل ترتيب من ستة أحرف يستوفي الشروط ، لذلك هناك P(8 ، 6) = 20،160 طريقة.
  12. كم عدد الطرق المختلفة التي يمكن ترتيب ستة أحرف من الكلمة TRIANGLE إذا كان يجب أن تتناوب حروف العلة مع الحروف الساكنة؟
    حل: هناك احتمالان ، الحرف الأول حرف علة أو الحرف الأول ساكن. إذا كانت الرسالة الأولى عبارة عن حرف متحرك ، فلدينا ثلاثة خيارات ، متبوعة بخمس نقاط حرف ساكن ، واثنان لكل حرف علة ثاني ، وأربعة حرف علة آخر ، وواحد لآخر حرف علة وثلاثة حرف آخر ساكن. نقوم بضرب هذا للحصول على 3 × 5 × 2 × 4 × 1 × 3 = 360. من خلال وسيطات التناظر ، هناك نفس عدد الترتيبات التي تبدأ بحرف ثابت. وهذا يعطي ما مجموعه 720 الترتيبات.
  13. كم عدد مجموعات مختلفة من أربعة أحرف يمكن تشكيلها من كلمة TRIANGLE؟
    حل: نظرًا لأننا نتحدث عن مجموعة من أربعة أحرف من إجمالي ثمانية أحرف ، فإن الترتيب ليس مهمًا. نحن بحاجة لحساب الجمع C(8, 4) = 70.
  14. كم عدد مجموعات مختلفة من أربعة أحرف يمكن تشكيلها من كلمة TRIANGLE التي تحتوي على اثنين من حروف العلة والحروف الساكنة؟
    حل: نحن هنا نشكل مجموعتنا في خطوتين. هناك C(3 ، 2) = 3 طرق لاختيار اثنين من حروف العلة من إجمالي 3. هناك C(5 ، 2) = 10 طرق لاختيار حروف العلة من الخمسة المتاحة. هذا يعطي ما مجموعه 3x10 = 30 مجموعات ممكن.
  15. كم مجموعة مختلفة من أربعة أحرف يمكن تشكيلها من كلمة TRIANGLE إذا كنا نريد حرفًا واحدًا على الأقل؟
    حل: هذا يمكن حسابه على النحو التالي:
  • عدد مجموعات من أربعة مع حرف علة واحد هو C(3 ، 1) س C( 5, 3) = 30.
  • عدد مجموعات من أربعة مع اثنين من حروف العلة هو C(3 ، 2) × C( 5, 2) = 30.
  • عدد مجموعات من أربعة مع ثلاثة أحرف العلة هو C(3 ، 3) س C( 5, 1) = 5.

وهذا يعطي ما مجموعه 65 مجموعات مختلفة. بالتناوب يمكننا حساب أن هناك 70 طريقة لتشكيل مجموعة من أربعة أحرف ، وطرح C(5 ، 4) = 5 طرق للحصول على مجموعة بدون أحرف العلة.